Деление чисел с остатком

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

В частном будет однозначное число. 

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

 Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое  414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Правила деления в столбик

Без остатка

Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.

Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:

1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.

2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.

Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.

3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель (3 ⋅ 8). Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица

Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления

Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.

4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.

Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.

5. В числе 16 содержится ровно два раза по восемь (2 ⋅ 8), следовательно, пишем 2 в частном, затем выполняем вычитание (16 – 16) и получаем остаток, равный нулю.

На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.

С остатком

В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.

Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть 112 : 5 = 22 (2).

Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.

Проверочные работы по математике на тему “Умножение и деление многозначных чисел”(4 класс)

Самостоятельная работа по теме: «Умножение и деление на двузначное число»

4 класс, 3 четверть

вариант I

1. Решите пример на деление:

336 : 3 = 138 : 46 =

750 : 50 = 640 : 80 =

1. Решите пример на умножение:

132 * 59 = 631 * 60 =

72 * 20 = 86 * 26 =

1. Решите задачу:

На склад поступило 2 тонны 640 кг муки. Затем 13 мешков по 48 кг в каждом отдали в производство. Сколько муки осталось на складе?

1. Решите задачу:

Из точки А и точки В на встречу друг другу одновременно выехали 2 велосипедиста. Расстояние между точками равно 200 км. Они встретились через 5 часов. С какой скоростью двигался первый велосипедист, если скорость второго была равна 18 км/час?

1. Найдите значение выражений:

32 568 – (2 832 * 7 + 3 202 : 2) = (1652 * 7 – 237 : 3) – 238 =

вариант II

1. Решите пример на деление:

350 : 50 = 230 : 46 =

483 : 3 = 320 : 80 =

2. Решите пример на умножение:

47 * 30 = 312 * 61 =

245 * 30 = 48 * 27 =

3. Решите задачу:

На склад в магазин привезли 2830 кг сахара. Каждый день продавали по 68 кг. Сколько сахара осталось на складе после 23 дней?

4. Решите задачу:

Из двух населенных пунктов на встречу друг другу вышли 2 путника. Расстояние между населенными пунктами равно 84 км. Они встретились через 6 часов. С какой скоростью шел первый путник, если скорость второго была равна 8 км/час?

5. Найдите значение выражений:

18 345 – (5 358 * 2 + 3 208 : 2 ) = (6 785 * 3 – 8 120 : 4) – 2 458 =

вариант III

1. Решите пример на деление:

276 : 46 = 840 : 40 =

453 : 3 = 990 : 30 =

2. Решите пример на умножение:

186 * 35 = 23 * 80 =

43 * 50 = 134 * 70 =

3. Решите задачу:

В цех привезли 3 654 заготовки. В токарный цех каждый день направляют по 37 деталей. Сколько деталей осталось в цеху через 40 дней?

4. Решите задачу:

Из двух городов на встречу друг другу выехали 2 мотоциклиста. Расстояние между городами равно 840 км. Они встретились через 7 часов. С какой скоростью ехал первый мотоциклист, если скорость второго была равна 70 км/час?

5. Найдите значение выражений:

29 235 – (3 984 * 6 + 6 788 : 2 ) = (8 102 – 246 : 3) – 315 * 4 =

Самостоятельная работа по теме: «Умножение и деление на трёхзначное число»

4 класс, 4 четверть

вариант I

1. Выполните деление:

31 901 : 73 = 33 387 : 93 =

309 888 : 384 = 127 270 : 143 =

2. Выполните умножение:

213 * 307 = 836 * 167 =

589 * 372 = 430 * 132 =

3. Переведите:

5 часов 13 минут = … сек 1 тонн 3 центнеров 68 кг = … кг

1 км 43 метра = … дм 28 часов 42 мин = … мин

4. Решите задачу:

Отряд пионеров прошел 20 км. Это составляет четверть пути. Сколько должны пройти пионеры?

вариант II

1. Выполните деление:

25 296 : 68 = 6 279 : 13 =

111 948 : 114 = 173 990 : 274 =

2. Выполните умножение:

248 * 357 = 721 * 163 =

701 * 591 = 231 * 694 =

3. Переведите:

1 час 48 минут = … сек 4 тонн 8 центнеров 213 кг = … кг

2 км 483 метров = … дм 1 сутки 8 часов = … мин

4. Решите задачу:

Спортсмены пробежали 15 км. Это составляет треть пути. Сколько должны пробежать спортсмены?

вариант III

1. Выполните деление:

218 654 : 218 = 716 982 : 794 =

99 264 : 132 = 54 544 : 487 =

2. Выполните умножение:

478 * 306 = 404 * 715 =

213 * 372 = 397 * 702 =

3. Переведите:

3 часа 38 минут = … сек 13 тонн 7 центнеров 63 кг = … кг

16 км = … дм 4 часов 37 мин = … мин

4. Решите задачу:

Велосипедисты проехали 18 км. Это составляет пятую часть пути. Сколько должны проехать велосипедисты?

Самостоятельная работа по теме: « Итоговое повторение»

4 класс, 4 четверть

вариант I

1. Решите пример:

3 758 + 6 345 = 27 397 – 7 164 =

782 * 23 = 33 948 : 82 =

2. Найдите значения выражений:

3 000 : 60 – 250 : 50 =

( 213 173 – 19 403 ) : 2 – 31 * 73 =

3. Решите задачу:

Из пункта А одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста 72 км/час, а велосипедиста 25 км/час. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

вариант II

1. Решите пример:

7 165 + 18 448 = 55 103 – 731 =

694 * 36 = 18 144 : 567 =

2. Найдите значения выражений:

5 600 : 70 + 210 : 70 =

( 14 864 – 3 486 ) : 2 – 19 * 26 =

3. Решите задачу:

Из двух населенных пунктов одновременно навстречу друг другу выехали поезд и автомобиль. Скорость поезда 48 км/час, а автомобиля 72 км/час. Через какое время они встретятся, если расстояние между городами 360 км?

вариант III

1. Решите пример:

4 138 + 12 672 = 63 230 – 879 =

736 * 34 = 35 805 : 35 =

2. Найдите значения выражений:

4 200 : 60 – 490 : 70 =

( 114 378 – 21 366 ) : 2 – 31 * 72 =

3. Решите задачу:

Из одного города одновременно в разных направлениях выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость автомобиля 65 км/час, а велосипедиста 25 км/час. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Деление на двузначное число с остатком

Действует ли при делении с остатком какой-либо другой алгоритм? Нет! При делении с остатком рассуждают точно так же, как и при делении без остатка.

Ребята, какое правило нужно знать и обязательно проверять при делении с остатком?

А теперь решите самостоятельно примеры на деление с остатком. Не забывайте сравнивать остаток с делителем, сделайте проверку.

272 : 98    495 : 46    385 : 65   321 : 47

Проверь себя.

Ребята, в каком примере вы встретили затруднение? Рассмотрим вместе пример

495 : 46

Почему в частном появился 0 (нуль)?

Первое неполное делимое 49. Делим на 46. Берем по 1. Остаток 3 меньше делителя 46. Делим верно. Сносим следующую цифру 5.

35 делим на  46. Берем по 0 (35 меньше, чем 46).  Остаток 35 меньше делителя, разделили верно. Сделаем проверку, убедимся в правильности вычислений.

Уметь делить с остатком – полезный навык, который не раз поможет вам в решении практических задач. Например, для постройки одинаковых башен у вас имеется 430 деталей лего-конструктора. Сколько башен можно построить, если на каждую нужно 35 деталей? Останутся ли лишние детали?

Давайте вместе решим эту задачу.

430 разделим на 35. Сделаем это столбиком (уголком).

Мы видим, что при делении получился остаток 10. Делаем вывод: из 430 деталей лего-конструктора можно сделать 12 одинаковых башен и еще 10 деталей останется.

Разделить можно на черновике, а решение в тетради записать в строчку.

430 : 35 = 12 (ост.10) – башен можно сделать.

Ответ: 12 башен и 10 деталей останется.

Если вы хорошо умеете делить с остатком, решение можно сразу записать в тетрадь:

Решите самостоятельно практическую задачу.

Задача

Ребята 4 класса изготовили для первоклассников 126 закладок в учебники. Сколько закладок достанется каждому первокласснику, если в первом классе 25 учеников? Останутся ли лишние закладки?

Проверь себя.

Что нужно для освоения деления в младшем школьном возрасте

Деление это не первое арифметическое действие, которое осваивают дети. Поэтому, прежде чем браться за делимое-делитель-частное, нужно обязательно выяснить, знает ли ребёнок разряды чисел и понимает ли принципы:

• сложения;
• вычитания;
• умножения.

Эффективные способы объяснения деления школьникам

Все способы объяснения можно условно поделить на академичные и образные. Первые опираются на цифры, то есть записываются в виде арифметических примеров, вторые на конкретные предметы: конфеты, мячи и т. д., которые умозрительно делятся между людьми, игрушками.

В работе с учениками начальной школы эффективным будет синтетический способ, совмещающий опору на образы и цифры одновременно.

Деление на основе знания таблицы умножения

Для понимания сути деления стоит обратиться к вычислениям с опорой на таблицу умножения.

Инструкция:

1. Записываем пример: 2 х 5 = 10.
2. Берём 10 монет и просим поделить их на двоих получается две стопки по 5 монет.
3. Далее 10 монет делим на пятерых получается 5 стопок по 2 монеты.
4. Вывод при делении мы выясняем, сколько раз каждый множитель помещается в произведении.

На этом приёме разъясняем понятийную базу: то число, которое делится, называется делимое, то число, на которое делится делителем, а результат частным.

Поскольку деление обратно умножению, то второе может проверить результат первого.

Инструкция:

1. Делимое делим на делитель, то есть 10 : 2.
2. Получаем частное 5.
3. Проверяем умножением, то есть частное умножаем на делитель 5 х 2.
4. Получаем 10, что в исходном примере является делимым.

Деление двузначных чисел на однозначные

Чтобы разделить двузначное число, не являющееся произведением таблицы умножения, на однозначное, нужно каждую цифру делимого разделить на делитель и записать первое частное десятками, а второе единицами. Например, 86 : 2.

Инструкция:

1. Делим 8 на 2. Получаем 4.
2. Делим 6 на 2. Получаем 3.
3. Ответ 43.
4. Проверяем 43 х 2 = 86.

Деление способом группирования

Суть этого способа деления заключается в подсчёте количества групп равных делителю, которые помещаются в делимое. Результат будет частным.

Инструкция:

1. Задача состоит в распределении мячей между командами. Решаем пример 30 : 3.
2. Распределим 30 мячей между тремя командами обводим тройки.
3. Считаем количество групп троек 10. Каждой команде достанется по 10 мячей.
4. Вывод 30 : 3 = 10.

Как объяснить деление в столбик

Поскольку деление может быть без остатка, а может быть с остатком, рассмотрим два варианта объяснение такого арифметического действия.

Деление без остатка

Инструкция:

1. Решим пример 396 : 3.
2. Записываем делимое, справа рисуем повёрнутую на левый бок букву Т и в верхнем окошке вписываем делитель 3.
3. Начинаем с сотен. 3 делится на 3 без остатка, получаем 1. Вписываем результат под делителем.
4. Проверяем 1 х 3 получаем 3, вписываем 3 под сотней и производим вычитание. Остатка нет. Подводим черту.
5. Приступаем к десяткам. 9 : 3 получаем 3. Записываем 3 рядом с 1.
6. Проверяем 3 х 3 получаем 9, вписываем 9 под чертой, производим вычитание. Остатка нет. Подводим черту.
7. Работаем с единицами. 6 : 3 получаем 2. Записываем 2 рядом с 13.
8. Проверяем 2 х 3 получаем 6, вписываем 6 под чертой, вычитаем. Остатка нет.
9. Результат 132.

Деление с остатком

Инструкция:

1. Решим пример 90 : 4.
2. В десятках помещается две четвёрки. В частном запишем значение 2, затем перемножаем 2 х 4 = 8, вписываем под 9 полученное произведение, вычитаем и получаем 1.
3. Сносим к разности 0, получаем 10. В 10 помещается 2 четвёрки, 10 8 = 2. Это остаток.
4. 2 на 4 не делится. Ставим десятичную запятую в частном и добавляем 0 к 2.
5. 20 : 4 = 5. Записываем частное после запятой.
6. Проверяем умножением 5 х 4 = 20. 20 20 = 0 остатка нет.

Деление на двузначные числа

Если в делителе есть десятки, сотни, то для облегчения решения делитель можно упростить, разбив на единицы (десятки).

Инструкция:

1. Решим пример 405 : 15.
2. Разобьём 15 на единицы, на 5 и 3 их произведение равно 15.
3. Теперь решаем два примера. Сначала 405 : 5. Частное 81.
4. Затем 81 : 3. Частное 27.
5. Результат 405 : 15 = 27.

Видео: тренажёр быстрого деления в уме для школьников

Объяснить деление можно не только школьнику, но и дошкольнику. Причём не только в условиях детского сада, школы, но и дома. Для этого нужно убедиться, что ребёнок имеет опорные знания, и у родителя есть запас времени, терпения для регулярных занятий со своим чадом.

Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел.

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

Мы будем говорить о делении с остатком произвольного целого числа a на целое число b, которое отлично от нуля. Для b=0 деление с остатком не определяют, также как не определяют без остатка.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d. Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b, а целое число c называется неполным частным (или просто частным, если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть , и его величина не превосходит модуля числа b, то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о ).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b, то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d).

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории ), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Так как являются натуральными числами, то смысл деления с остатком целых положительных чисел должен полностью совпадать со .

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1).

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

Общий принцип деления в столбик

Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.

Решим пример \(\textcolor{red} {295383\div 34}\).

Далее записываем известные
компоненты деления следующим образом:

и начинаем вычисление:

1. Берем первое неполное делимое
и пытаемся его разделить на делитель.

Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.

Записываем в частное первую найденную цифру
разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного
частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е.
вычитаем из неполного частного результат этого произведения.

В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor{red} {8\cdot 37=272}\). Записываем его под 295 и находим разницу: \(\textcolor{red} {295-272=23}\). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.

В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.

2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.

Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.

3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.

При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.

4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.

Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия \(\textcolor{red} {295383\div 34=8687}\) и 25 в остатке.

Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor{red} {25326\div 63}\).

Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.

Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.

1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.

Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать , поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.

Итак, запомните, что
каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда
и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно
записать нулевой результат этого действия.

126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления \(\textcolor{red} {25326\div 63=402}\).

Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.

Деление с остатком – общее представление об этом действии

В разделе мы сказали, что деление связано с разъединением исходного множества на несколько множеств, и отметили, что наибольший интерес представляет деление на равные части (на одинаковые множества).

Однако провести деление на равные части далеко не всегда возможно. Например, разделить 7 цветков в букеты, чтобы в каждом букете было по 3 цветка, не получится. Но из 7 цветков можно составить 2 таких букета (для этого нужно 3·2=6 цветков) и седьмой цветок оказывается «лишним» (из него не получится составить требуемый букет). Иными словами, один цветок остается. Еще можно сказать, что после деления исходного количества цветков указанным способом образуется остаток. Итак, 7 цветков мы разделили в 2 требуемых букета по 3 цветка в каждом, при этом остался 1 цветок. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует деление с остатком.

Теперь мы имеем представление о делении с остатком и можем дать определение этому действию.

Определение.

Деление с остатком – это представление исходного множества в виде объединения некоторого количества требуемых множеств и еще одного множества, из элементов которого невозможно составить требуемое множество.

Как объяснить ребенку деление и научить делить столбиком?

дети-школьники тренируются делить числа столбиком

Во-первых, учтите ряд вводных факторов:

• ребёнок знает таблицу умножения
• хорошо разбирается и умеет применять на практике действия вычитания и сложения
• понимает разницу между целым и его составными элементами

Дальше акценты в ваших действиях выглядят так:

• поиграйте с таблицей умножения. Положите её перед ребёнком и на примерах покажите удобство использования при делении,
• объясните расположение делимого, делителя, частного, остатка. Предложите ребёнку повторить эти категории,
• превратите процесс в игру, придумайте историю про цифры и действие деления,
• подготовьте наглядные предметы для обучения. Подойдут счётные палочки, яблоки, монеты, игрушки, очищенные сведение или апельсин. Предлагайте их распределить между разным количеством людей, например, между мамой, папой и ребенком,
• первым показывайте ребёнку действия с чётными числами, чтобы он видел результат деления, кратный двум.

Сам процесс освоения деления столбиком:

• запишите цифры, разделив их границами. Повторите с ребёнком расположение категорий деления,
• предложите ему проанализировать цифры делимого на предмет «больше-меньше» делителя. Помогайте вопросом — сколько раз одно число помещается во втором. В результате ребёнку следует выделить то число/числа, которые он будет применять для совершения первого действия,
• подскажите алгоритм определения разрядности частного. Её удобно изобразить точками, которые потом превратятся в цифры,
• помогите правильно определить и записать первое число в частное, совершите его умножение на делитель, запишите результат под делимым, выполните вычитание. Объясните, что результат вычитания всегда должен быть меньше делителя. В противном случае действие совершилось с ошибкой и его следует переделать,
• следующий шаг — анализ ситуации с добавлением второго числа от делимого и определения количества раз повторения делителя в нём,
• снова помогите с записью действия,
• продолжайте до момента, когда результат от разницы составит ноль. Это актуально только для деления чисел без остатка,
• закрепите знания у ребёнка еще несколькими примерами. Следите, чтобы он не устал, иначе дайте перерыв.

Сначала стоит доходчиво объяснить, что такое деление на простом примере. Суть математического действия — разложить число поровну. В 3-м классе дети хорошо учатся на доступных примерах: раздают кусочки торта гостям, рассаживают кукол по 2 машинам.

Когда малыш усвоит суть деления, покажите его запись на листке. Используйте уже знакомые задания с простыми числами:

• Сначала запишите задачу обычным способом: 250:2=?
• Каждому числу дайте название: 250 — делимое, 2 — делитель, результат после знака равно — частное.
• Затем сделайте сокращенную запись столбиком (уголком):

• Рассуждайте вместе так: сначала найдем неполное частное. Это будет 2, так как оно не меньше делителя, а вернее, равно ему. В этом числе помещается один делитель, значит, в частное записываем цифру 1 и умножаем ее на 2. Заносим полученный результат под делимым. Отнимаем 2-2. Получится ноль, поэтому сносим следующее число и опять подыскиваем частное. Совершаем математическое действие до тех пор, пока не получится ноль.
• После получения окончательного результат сделайте проверку с помощью умножения: 125х2=250.

Желательно научить третьеклассника рассуждать в процессе вычисления вслух, выполнять действия на черновике. Сначала проговаривайте алгоритм вместе, потом только слушайте ученика и помогайте исправить ошибки.

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

16=5⋅3+1

a=b⋅c+da – делимое,b – делитель,c – неполное частное,d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на 2

Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой:0 , 2 , 4 , 6 , 8 Пример: 1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на   3 Пример: 745 ,(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4 Пример: 7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой     или   5 Пример: 835

Признак делимости на 6

Формулировка признака: Число должно делиться на   2   и на   3 Пример: 234 ,(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака: На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой Пример: 3626 , (362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8 Пример: 63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на   9 Пример: 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака: Число должно оканчиваться   Пример: 169

Признак делимости на 11

Формулировка признака: Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11 Пример: 1408 ,(4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ;12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака: На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой Пример: 299 , (29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75 Пример: 7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00   или   50 Пример: 2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 Пример: 102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   000 Пример: 3217000